詳細

月食が起こるのは、「月が地球の影に入ってしまう」からです。
ということは、太陽を内側として、「太陽 → 地球 → 月」と一直線に並ぶときという条件になります。（そのため、必然的に、月は満月となる位置にある）

この条件がそろうのは、年におよそ２回前後で（年によって変わる）、地球と月の公転周期に影響されます。

※ 満月の日は必ず月食が起こるわけではないことに注意。実際には、地球が太陽の周りを回る面と、月が地球の周りを回る面はズレているので、すべてが完全に一直線上に並ぶのは珍しい。

 
また、どちらの方角に見えるかについてですが、これは地球の自転に影響されます。

満月の日、月の公転による月の位置は、地球をはさんで太陽と反対側にあります。
（そのため、欠けずに見える→満月）

ということは観察者の位置から見ると、太陽が西の空に沈んでいく夕方、月は東の空の方に見えます。（観察者をはさんで反対側）

時間を、次の日の朝まで進めてみると、
〔夕　方〕　太陽：西　　　月：東
〔真夜中〕　太陽：（北）　月：南
〔　朝　〕　太陽：東　　　月：西

という位置関係になり、月の見える方角が一日のうちでも変わっています。
 

※ 北極側から見た図。地球上では北極方向が「北」なので、赤矢印方向（青円の中心方向）が「北」となり、それを基準に、東・西・南が決まる

 
これは、地球が一日に一回自転をしているからで、そのため、太陽や月が一日に一回地球の周りを回っているように「見える」わけです。
実際は、地球が「自分でまわっている」だけなのです（自転している）

 
質問に戻りますが、
「満月の日、月は地球から見て西側・東側」という考えは、そもそも、そうは言い切れないものなのです。

方角は、地球上で北極がある側を北として、位置関係をはかるためのもので、その尺度を地球の外側から考えることはできません。

上で説明したように、地球上で観察者の位置を固定したうえで、太陽や月の見える位置について考えましょう。