背理法とは、命題 p ⇒ q というのが「偽」であると仮定して、その場合、矛盾が生じることを示すことで、「仮定したことがおかしい」 ので、命題 p ⇒ q は「真」だ、という証明方法です。

この論法がいまいち納得しにくい、という人は多いと思います。

そこで、以下のように考えてください。
※ まずは簡単に、ある要素がある集合のメンバーかどうか、について考えます。ちょうど「√2 は無理数である」のようなケースです。（集合のケースについてはこちら）

 
そもそも、要素 p と 集合 Q の関係性は以下の２パターンしかないわけです。
そのうち「p ⇒ q が真」というのは、① の場合に相当します。
（小文字の q は、集合 Q のメンバー、という意味。あえてアルファベットを変えています）

(図表1) そもそもこの２パターンのどちらかでしかない

 
で、背理法における「命題の否定」というのは、この ① の否定（つまり ② の場合）についてどうなるかを見ているのです。
そして、② で何かしらおかしいことが生じれば、こうした状況は現実的には存在しえないということになります。

つまり、そもそも２パターンしかありえない状況で、そのうちの１つ（ここでは ② ）がダメということで、消去法的に ① の「p は Q の一部」というケースしか残らないということになります。なので、元の命題 p ⇒ q は「真」ということになるのです。

(図表2) 消去法的に一方しか残らない