①AF：FCを求めなさい。
②△ACD：△FBCを求めなさい。

 
 
【解説】
〔証明〕
△FEAと△FBCにおいて、
対頂角は等しいので、∠AFE＝∠CFB…①
AE//BCならば錯角は等しいので、∠FAE＝∠FCB…②

①、②より　２組の角がそれぞれ等しいので、△FEA∽△FBC
相似な図形では、対応する辺の比は等しいので、
AF：CF＝AE：CB

2AE＝ADかつAD＝BCなので、　（←△FEAと△FBCの相似比は 1：2）
AF：FC＝AE：BC＝1：2　（答え）
 
 
②

平行四辺形ABCDの面積を S とすると、
△ABC＝△ACD＝(1/2)S　といえる。

また、①より AF：FC＝1：2 であることから、
△FBC＝△ABC・(2/3)　（←△ABCの底辺をAC＝③とし、そのうち②を使っている）
（これは、「高さが等しい」２つの三角形の面積の比は、底辺の長さの比に等しいから）
よって、
△FBC＝(1/2)S・(2/3)＝(1/3)S

よって、
△ACD：△FBC＝{(1/2)S}：{(1/3)S}＝3：2　（答え）

＜補足＞

＜まとめ＞

・相似な三角形を見つけることで、辺の比を知ることができる
・「高さが等しい」２つの三角形の面積の比は、底辺の長さの比に等しい
・「底辺の長さが等しい」２つの三角形の面積の比は、高さの比に等しい