【方針】
四角形APCQの対角線には、▱ABCDの対角線と共通のACがあります。
もうひとつの対角線について、仮定が与えられていることから、「対角線がそれぞれの中点で交わる」という条件を使うことができそうだ、と考えます。
 
 
【証明】
▱ABCDにおいて、平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので、　（←平行四辺形の定理）
AO＝CO…①、BO＝DO…②

仮定より、BP＝DQ…③で、
OP＝BO－BP, OQ＝DO－DQであることから、　（←同じ長さだと分かっている線分を使って表す）
②,③より、OP＝OQ…④

したがって、①,④より、
対角線がそれぞれの中点で交わるので、
四角形APCQは平行四辺形である。　（証明終わり）

＜まとめ＞

・「平行四辺形となる条件」のうち、どれが使えるか考える
・証明をしていくとき、（仮定より）「同じ長さと分かっている線分」を使う
・線分の長さの値が分からなくても、「同じ長さの線分を使って」表すことができればOK