【問題】
図の四角形ABCDは平行四辺形である。その辺AD,BCの中点をそれぞれM,Nとし、線分ANとBMの交点をP、線分DNとCMの交点をQとする。このとき、四角形MPNQが平行四辺形となることを証明しなさい。

 
 
【方針】
四角形MPNQについて、辺の長さに関することは分かっていないので、「平行である」ということを使います。
この問題のように、平行四辺形の中に（新たに）平行四辺形をつくるタイプでは、「平行な線分を見つけやすい」場合が多いです。
 
 
【証明】
四角形ANCMにおいて、　（下図、オレンジ色）
仮定より、AM//NC…①
M,NはそれぞれAD,BCの中点なので、
AM＝(1/2)AD, NC＝(1/2)BC と表せて、
平行四辺形の対辺はそれぞれ等しいので、AD＝BC
よって、AD＝BC…②

①,②より、１組の対辺が平行でその長さが等しいので、
四角形ANCMは平行四辺形になる。

このことから、PN//MQ…③

同様にして、四角形MBND（下図、水色の四角形）も平行四辺形となるので、MP//QN…④
（先にしたのと同じ証明方法をとるなら、「同様にして」と省略することができる）

③,④より、
２組の対辺がそれぞれ平行となるので、四角形MPNQは平行四辺形となる。（証明終わり）