| 〔質問〕 「1以上1000以下を満たすa。不定方程式ax＋204y＝2023を満たす整数x、yが存在するaのうち204と互いに素でないものを考える。aのうち最小のものと大きい方から2番目は？」 ↑この問題なのですが、まず互いに素でない、ということからどのように考えればいいのですか？ またその後の解き方も教えてください。 |
| 〔回答〕 まず、どこから手をつけていいかわからない場合、どういう場合にうまくいって、どういう場合にダメか、というのを具体的に検証してみてください。 それが糸口になることがよくあります。 今回の場合、例えば a＝2 としたとき、2x＋204y＝2023 となり、左辺は2でくくれることから２の倍数ということになりますが、右辺は素因数に2を持たないため、この等式が成り立つことはない、ということになります。 ※ 例えば、a＝17 なら、17x＋204y＝2023 となり、これを 17 で割ることで x＋12y＝119 という次のステップに少なくとも進むことができます。 今回の場合、2023の素因数が限られていますので、もう後は地道に１つずつ検証すればそれでいいです。 |
〔補足〕
一般に、不定方程式 ax＋by＝● について、a, b が互いに素なら、必ず整数解を得ることができます。
これは、（a, b が互いに素というのは「最大公約数が1」のため）互除法のステップを取ることで、a・■＋b・◆＝1 の形式を得ることができるため、それを●倍をすることで ax＋by＝● の具体的な解を得ることができるためです。
一般に、不定方程式 ax＋by＝● について、a, b が互いに素なら、必ず整数解を得ることができます。
これは、（a, b が互いに素というのは「最大公約数が1」のため）互除法のステップを取ることで、a・■＋b・◆＝1 の形式を得ることができるため、それを●倍をすることで ax＋by＝● の具体的な解を得ることができるためです。
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