〔質問〕

ルート2が無理数であることの証明は、「背理法を使ってルート2は有理数と仮定する。√2＝ｍ／ｎ（ｍ／ｎは割り切れない）とおいてなんやかんやすると、ｍ／ｎが割り切れてしまうから矛盾する。よってルート２は無理数である」という感じですが、この程度の矛盾で仮定が間違っていると断定できるというのが直感的によくわかりません。

なぜこれで証明できるのですか？

〔回答〕

有理数の定義として「整数/整数」と習っていると思いますが、厳密には「（約分をした上で）既約分数になる」ことが必要になります。

今回の証明に関しては、m も n も２の倍数であることが得られますので、m/n（＝2m’/2n’ とする）は約分できることになりますが、
約分した後の m’/n’ について、全く同じ経緯により、これらも 2 で約分できることになり、
…、
ということを永遠に繰り返すことになります。

「永遠に約分できるような有理数は存在しない」ため、よって、消去法的に無理数ということになる、という理屈です。