例えば、
①「x＜3 かつ x≧1」であれば、数直線に書き込めばきちんと 1≦x＜3 に該当する箇所が出てきてくれますが、
②「x＜3 かつ x≧4」とかや、さらには ③「x＜3 かつ x≧3」とかであればきちんと「かつ」を満たすようなものがありません。
（②「3未満で、4以上でもあるもの」や、③「3未満で、3以上でもあるもの」という数は存在しない）

この ① と ② や、① と ③ の間にどういう違いがあるかを考えて、「上記の ● と ■ がどういう関係であれば ■≦x＜● となってくれるか」を考えてみてください。
 
 
後半ですが、 ■≦x＜● というのを数直線上に書いたら間に整数の箇所が３つあるということを言っています。
例えば 1.5≦x＜4.8 であれば、間に 2, 3, 4 という整数が計３つあることになります。

要はそういう状況になるような ■ と ● の関係を考えればいいというものですが、今回の問題ではここから先がややこしくなります（ひとまずいける範囲で考えてみてください）。

■≦x＜● の間に整数が３つということは、
(1) ■ と ● の幅が可能な限り狭い場合
例えば 1≦x＜3.01 のように、■ と ● の幅が概ね 2（より少しだけ大きい）

(2) ■ と ● の幅が可能な限り広い場合
例えば 1.01≦x＜4.99 のように、■ と ● の幅が概ね 5（より少しだけ小さい）

ということが考えられます。
これを用いると、「少なくとも ■ と ● の幅（つまり ●－■）は 2～5 の間」ということで、2＜●－■＜5 という不等式を立てて、ある程度答え（a の範囲）を絞り込むことができます。
その後、その a の範囲であれば ■ 及び ● が取りうる値の範囲の検討がつきますので、そこから「■≦x＜● の間に整数解が３つ」という状況になっているかを確認する、という方針です。
（もう少し簡単な解き方を思いついたら更新しておきます）