数学Ⅰ(高校):a+b、a-b の因数分解

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<ポイント>
(1)an-bn は、n が自然数であれば必ず (a-b) で割りきれる
(2)an+bn は、
・n が奇数であれば必ず (a+b) で割りきれるが、
・n が偶数であれば割りきれない
(1)an-bn
現に、
a2-b2=(a-b)(a+b)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
a4-b4=(a2-b2)(a2+b2)=(a-b)(a+b)(a2+b2)
というように、
an-bn という式は (a-b) で割り切れる(因数に持つ)
 
 
(2)an+bn
一方、an+bn であればそういうわけにもいかず、
a2+b2 → 因数分解不可
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a4+b4 → 因数分解不可
のようになっている。

実際のところ、an+bn 型は、n が奇数であれば (a+b) で割り切れる(因数に持つ)という特徴がある。
※ a5+b5, a7+b7 などは (a+b) を因数に持つ因数分解が可能。

<補足>
数Ⅱの因数定理を知っていれば、
P(x)=xn-bn のとき、必ず P(b)=bn-bn=0 より、(x-b) を因数に持つことになる。

一方、P(x)=xn+bn のとき、P(-b)=(-b)n+bn となるが、
n が偶数であれば、符号が打ち消されて、P(-b)=bn+bn(=2bn)となって ≠0 が確定するが、
n が奇数であれば、P(-b)=-(bn)+bn となって、=0 となる。
よって、(x+b) を因数に持つことになる。

<まとめ>
(1)an-bn は、n が自然数であれば必ず (a-b) で割りきれる
(2)an+bn は、
・n が奇数であれば必ず (a+b) で割りきれるが、
・n が偶数であれば割りきれない

 

※ 理解を優先するために、あえて大雑把に書いてある場合があります

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