〔質問〕 テイラー展開を使えばどんなことができるのですか? |
〔回答〕 原則として大学範囲になりますが、与えられた曲線に近いn次曲線を求めるというものです。 例えば、y=cosx は「x=0 付近では y=1-x2/2」に似ている、というようなことを求めるものです。 |
「f(x) を x=a でテイラー展開」すると、
\[ f \big(x\big) =f \big(a\big) + f’\big(a\big) \big(x – a\big) + \frac{f’’\big(a\big)}{2!} \big(x – a\big)^{2} + \frac{f’’’\big(a\big)}{3!} \big(x – a\big)^{3} + . . . \]
というように変形ができるというもので、要はその点における近似式を求めています。
高校範囲でいうと x=a での接線というのが「1次までのテイラー展開(2項目までの f(a)+f'(a)・(x-a) でストップ)」に相当し(接点の箇所において、その曲線に最も似ている直線)、
2次までのテイラー展開であれば、「x=a 付近で、y=f(x) のグラフを放物線で近似したもの」という意味合いを持ちます
y=f(x)=cosx の、x=0 付近の場合、
y=cos0+(-sin0)(x-0)+(-cos0)(x-0)2/2+sin0・(x-0)2/6+…
=1+0-1・(x-0)2/2+0+… というもので、
後ろの「+…」を無視するなら y≒1-x2/2 ということになります。
あと、高校範囲だと、ex=1+x+x2/2+… というのを扱うこともありますが、
これは f(x) を x=0 でテイラー展開したもの(特に x=0 でのテイラー展開をマクローリン展開と呼ぶ)になります
※ 理解を優先するために、あえて大雑把に書いてある場合があります |
---|
アンケートへのご協力をお願いします(所要2~3分) |
---|
「将来設計・進路」に関するアンケートを実施しています。ご協力いただける方はこちらよりお願いします (Googleフォームにアクセスします) |