〔詳細〕
まず、例えば y＝2x のような、よく見る y＝[x の式] の形式のものを陽関数と言います。
この場合、１つの x に対して必ず１つの y が対応しますので、まさに「関数」になっています。

それに対して、例えば x²＋y²＋2y－4＝0 のように、[x, y の式]＝0 になっているものを陰関数と言います。（この場合だと x²＋y²＋2y＝4 のことですので、図形的には円を表している）

陰関数の場合、１つの x に対して複数の y が対応するケースも出てくるため、いわゆる本当の「関数」になるとは限りません。
 
 
一応、陰関数は陽関数に変形することもできます。
先程の x²＋y²＋2y－4＝0 の場合だと、y の２次方程式として y²＋2y＋x²－4＝0 と見れば、解の公式から y＝－1＋√(5－x²) と y＝－1－√(5－x²) という y＝[x の式] の形式のものが得られます。
※ ただし、現実的には、因数分解できるか、せいぜい y が２次までの整式の場合です。

なお、微分したい場合は、わざわざ陽関数にしなくても、陰関数のままで dy/dx を求めることができます（これの解説動画はこちら）。