【タイプ４】
そのままの状態では積分の公式に当てはめられないときでも、
x の関数を t の関数に置き換えることで、公式通りの計算ができる場合がある。
（１）無理関数の入った積分
（２）「合成関数の微分の逆」タイプ
このページでは（２）を紹介。
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[su_spoiler title=”何をしているのか” style=”fancy”]
例えば y＝sin x2 を微分する場合、y’＝cos x2 ではなく、さらに (x2)’ である 2x をかけて y’＝2x・cos x2 となる。
これを逆に積分する際、2x 部分を取り除くことで y＝sin x2(＋C) に戻したい、というもの
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【例題】
\[ \int \frac{2x}{ \ x^{2} +1 \ } \ dx \]
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[su_spoiler title=”手順” style=”fancy”]
【着眼点】
「どこかをかたまり（t）とみなしたときに、それの微分がかけられている状態」を探す。
今回は、分母の x2＋1 をかたまり（t）とみなしたときに、その微分である 2x が式にくっついている状態になっている。
つまり、
\[ \int \frac{1}{ x^{2} +1} \times 2x \ dx \]
というような見方をして、
1/t（x2＋1＝t より）に対して、2x がかけられていると捉える
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[su_spoiler title=”解答” style=”fancy”]
\[ \int \frac{2x}{ \ x^{2} +1 \ } \ dx \]
\[ =\int \frac{1}{ x^{2} +1} \times 2x \ dx \]
| \[ t= x^{2} +1 \ \mbox{とおく。} \] \[ t= x^{2} +1 \ \mbox{の両辺を t で微分すると、} \frac{ \ dt \ }{dx}=2x \] \[ \mbox{∴} \ dt＝2x \ dx \] ※「dx」「dt」は、（２文字セットの上で）掛け算のように扱うことができ、dx 部分を右辺に持っていく |
\[ =\int \frac{1}{ \ t \ } dt \]
（2x dx を dt に置き換え。すると t の積分として、公式通りのものになる）
\[ =\log|t|+C \]
\[ =\log|x^{2}+1|+C \]
\[ =\log (x^{2} +1) +C \]
（最後は x の式に戻す）
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