【タイプ４】
そのままの状態では積分の公式に当てはめられないときでも、
x の関数を t の関数に置き換えることで、公式通りの計算ができる場合がある。
（１）無理関数の入った積分
（２）「合成関数の微分の逆」タイプ

このページでは（１）を紹介

$$\int x \cdot \sqrt[3]{1+x \ } \ dx$$

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[su_spoiler title=”手順” style=”fancy”]
　　 $$t= \sqrt[3]{1+x} \ \mbox{とおく。}$$
 
【ここからすること】

① x の式を、すべて t の式に変える
$$t= \sqrt[3]{1+x} \ \mbox{の両辺を３乗すると、}$$
$$t^3＝x＋1 \ \mbox{となり、} x＝t^3－1$$
      ※ これを与式に代入する

② dx 部分を dt に変える
$$x＝t^3-1 \ \mbox{の両辺を t で微分すると、} \frac{ \ dx \ }{dt}=3t^2$$
$$\mbox{∴} \ dx＝3t^2 \ dt$$
※「dx」「dt」は、（２文字セットの上で）掛け算のように扱うことができ、dt 部分を右辺に持っていく
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[su_spoiler title=”解答” style=”fancy”]
　　 $$\int x \cdot \sqrt[3]{1+x \ } \ dx$$
　　 $$=\int \left( t^{3} -1\right) \cdot t \cdot 3 t^{2} dt$$
　　 $$=\int \left(3 t^{6} -3 t^{3} \right) dt$$
　　 $$=\frac{ \ 3 \ }{7} t^{7} – \frac{ \ 3 \ }{4} t^{4} +C$$
　　 $$=\frac{ \ 3 \ }{7} (1+x) ^{2} \sqrt[3]{1+x} – \frac{ \ 3 \ }{4} (1+x) \sqrt[3]{1+x} +C$$
　　 $$\left(= \frac{3}{ \ 28 \ } (4x-7)(x+1) \sqrt[3]{1+x \ }+C\right)$$
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