| 〔質問〕 「任意の整数 n に対して n9－n3 は９の倍数であることを証明せよ」 この問題で３で割った余りで考えるほうがよいのはなぜですか？ |
| 〔回答〕 ９で割ったあまりで考えるときは９通りの場合分けが必要になりますが、できればそれを避けたい、という思考回路からきているんですが、 もし n9－n3 を n3(n6－1) というようにくくれたとすれば、n3 の部分が連続する３整数ですから必ず３の倍数を含みます。 これを踏まえれば、n6－n1 の方も３の倍数であることさえ言えれば、両方合わせて９の倍数ということが言えるようになる、ということで、場合分けが３通りですむことになります。 ※ 追記 ・n3 の部分は自動的に３の倍数 ・n6－1 が３の倍数であることが言えればよい → 倍数の証明では、ふつう「n＝3k＋1 のとき」のような場合分けをして代入するのが一般的 ですので、n6－1 のところに ・n＝3k のとき ・n＝3k＋1 のとき ・n＝3k＋2 のとき の３通りを代入して検証すればそれで示せる、ということです |
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