〔質問〕
cos²3θ＋sin²3θ＝1 について、証明をお願いできますか？

〔回答〕
※ 三角関数・三角比の定義のところから、シンプルに「角が等しいcos２乗とsin２乗の和は常に１」と扱ってもらって結構です。
（三角関数自体が単位円によって定義されているため）

ですが、あえて計算すれば、３倍角の公式を使って展開すれば「＝1」が出てきます。

具体的には、
cos3θ＝－3cosθ＋4cos³θ
sin3θ＝3sinθ－4sin³θ より、

cos²3θ＋sin²3θ
＝(－3cosθ＋4cos³θ)²＋(3sinθ－4sin³θ)²
＝(9cos²θ－24cos⁴θ＋16cos⁶θ)＋(9sin²θ－24sin⁴θ＋16sin⁶θ)
＝(9cos²θ－24cos⁴θ＋16cos⁶θ)＋sin²θ(9－24sin²θ＋16sin⁴θ)
＝(9cos²θ－24cos⁴θ＋16cos⁶θ)＋sin²θ{9－24sin²θ＋16(sin²θ)²}
＝(9cos²θ－24cos⁴θ＋16cos⁶θ)＋(1－cos²θ){9－24(1－cos²θ)＋16(1－cos²θ)²}
（sin²θ＝1－cos²θ より。さすがにこれは使わないと無理な気がします）

以下、展開を進めれば、最後「1」になります。
＝(9cos²θ－24cos⁴θ＋16cos⁶θ)＋(1－cos²θ)(9－24＋24cos²θ＋16－32cos²θ＋16cos⁴θ)
＝(9cos²θ－24cos⁴θ＋16cos⁶θ)＋(1－cos²θ)(1－8cos²θ＋16cos⁴θ)
＝(9cos²θ－24cos⁴θ＋16cos⁶θ)＋(1－8cos²θ＋16cos⁴θ)－cos²θ(1－8cos²θ＋16cos⁴θ)
（ここは順番に展開しているだけです）

＝(9cos²θ－24cos⁴θ＋16cos⁶θ)＋(1－8cos²θ＋16cos⁴θ)－cos²θ＋8cos⁴θ－16cos⁶θ
＝1