| 〔質問〕 実数係数の方程式が虚数解を持つとき、その共役複素数も解に持つことを証明してください。 |
| 〔回答〕 この方程式を axn＋bxn－1＋…＝0 として、ある虚数解を x＝ω とします。 このとき、方程式の解ということは、この式に代入して「＝0」が成り立つということですので、 aωn＋bωn－1＋…＝0 が成り立ちます。 次に、この式が成り立つということは、全体の共役な複素数を考えても成り立つはずです。 （「aωn＋bωn－1＋…」の共役な複素数は、0 の共役な複素数と一致するはず） ですので、 \[\overline{a \omega ^{n}+b \omega ^{n-1}+ . . . }＝ \overline{0} \] が成り立ちます。 この後は、上線を「＋」ごとに分解して、そして、係数部分の上線を外してください（実数なので共役な複素数は元の数と一致するため）。すると元の方程式に ω の共役な複素数を代入した形で「＝0」が成立していることになるため、共役な複素数も解と言えます。 |
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