| 〔質問〕 「有理数α は 1＜α＜√2 を満たすものとする。β＝1＋1/(α＋1)であるとき、βは√2よりも大きい有理数であることを証明せよ」という問題で、自分は α＋1>0 より、相加相乗平均の関係を用いて β＋α－α＝1＋α＋1/(α＋1)－α≧2－α という不等式を導き出しました。でもこれではβが√2よりも大きいことは証明できません。いったい何が間違っているのでしょうか？ |
| 〔回答〕 この解き方の場合、α が消えてくれなかった影響で、結果的には「必要条件」を言ったにすぎなくなっています。 というのも、β＋α－α≧2－α とは、つまり β＋α≧2 であることしか言えておらず、解を絞り込みきれていない状態になっています。 ですので、結果的には解法としてはよくないため、他の方法を探す必要があったということです。 今回の問題については ・有理数であることは、α が有理数であることから、「有理数/有理数」になっているためOK ・範囲については、順番に考えていけばOK です。 後者については、1＜α＜√2 より、1＋α の範囲が求まり、それが分かれば 1/(α＋1) の範囲が分かり（逆数を計算すればいい）、それに１を加えれば 1＋1/(α＋1) が何より大きいかがわかりますので、そこから √2 より大きいことが言えます。 |
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