| 〔質問〕 正の数 x, y が x＋y＝3 を満たして変化するとき、z=(x＋1/x)2＋(y＋1/y)2 の最小値を求めよ。という問題で、相加・相乗平均より (x＋1/x)2 ≧4 … ① (y＋1/y)2 ≧4 … ② したがって、①＋② ≧8 となり、z≧8 ゆえに z の最小値は8である。 という風に解いたのですが、答えは違いました。どのように解いたらよかったのですか？ |
| 〔回答〕 まず、今回の問題では、x と y はそれぞれ独立して動くのではなく、x＋y＝3 という制約がありますから連動してしまいます。そういう事情がありますので、相加相乗で最小をとるはずの x＝1 と y＝1 は（足して3になってないので）同時に存在することができません。ですので、相加相乗は使うことができなかったのです。 （なお、これは必要条件にはなっている（十分条件ではないだけ）ため、今回の問題で求める答えが8未満になることはありえません） ※ 実際の解法については、いろいろ考えてみましたが、数Ⅲ範囲の微分を使って解くくらいの解法しか思いつきませんでした。もう少し考えてみます。 答えだけでよければ、この手の対称式は‘どうせ’ x＝y のときに最小値（や最大値）を取りますから、x＝y＝3/2 のときの z＝169/18 になるとは思います。 |
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