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※ 以下の説明はやや小難しく書いています。よくわからないようでしたら、シンプルに「何のスポーツ」は「what sports」として一括りにしておかないといけないから、と理解しておいてもらったら結構です（皆さんの学年にもよりますが…）

まず大前提として、「英文は英語のルールに従って書く必要がある」ということを理解しておいてください。実際の使われ方に従う必要があるのです。

 
実際、英語には文の書き方として、５つのパターンがあり、必ずこのうちのどれかを採用しておく必要があります。そのうちの１つに「主語 → 動詞 → 目的語」というものがあります。

例えば「私はペンを持っている」であれば、I have a pen. という英文になります。

like の場合も同様で、
「あなたは野球が好きです」については、You like baseball. という英文になります。

 
さて、「不明なものをたずねる疑問文」を作る場合ですが、まず You like baseball. について考えてみると、
最後の baseball の部分（文法的には「目的語」と呼ばれるもの）が不明な場合は、ここを what（何？）に変えて、文頭に出す、ということをすればいいわけです（別途、do は必要）

〔基本〕You like baseball.
→ You like [？].
→ You like what.
→ What you like?
→ What do you like? （実際には do が必要なので加えた）
のようなイメージです。

ここで注目してほしいのが、what（実際の答えとしては baseball）というのが「『好き』の対象」を示しているということです。
（「あなたは何が好きですか？」）

 
これを踏まえて、今回の「あなたは何のスポーツが好きですか？」についてですが、
「『好き』の対象」の部分（＝目的語の部分）は、基本的にひっくるめて扱わないといけないという英語のルールがありますから、

「あなたは何が好きですか？」と、
「あなたは何のスポーツが好きですか？」を照らし合わせてもらって、

What do you like? の what の部分を、
What sports do you like? に書き換えてもらったらいいということになります。

※「赤いペン」を a red pen と一続きで書くように、ここの部分をバラバラにはしないということです。ひっくるめて文頭に持ってきてください。

 
ちなみに、What do you like? の場合の what は、これ１語で baseball などの代わりをしていることから、「疑問代名詞」（これだけで目的語の役割を果たせられる）と呼ばれますが、

What sports do you like? の場合の what は、「何のスポーツ」という形で、sports の部分を修飾している役割を持っています。
この場合、（sports という）名詞を修飾しているということは、形容詞の役割ということになり、今回の what については「疑問形容詞」というようにも呼ばれます。

 
少々難しい内容とは思いますが、要は、what の使われ方が違うのです。