〔質問〕

「私はテニスより料理が得意です。」という英作文で、I cook better than playing tennis. とありました。
to play tennis だと間違いになりますか？
playingは、動名詞と解釈してよろしいでしょうか。

〔回答〕

まず、than は「接続詞」で、文法的に一番正確な書き方は、I cook better than I play tennis. です。

他の than の使い方も同様で、例えば I cook better than he. とかも、本来は I cook better than he cooks（than以下もちゃんと文を書く）に対して「cook が重複するので省略」という手順をとったものになります。
※ 最近は than を前置詞的に捉えて I cook better than him. でも構わない、というようにされますが、本来はこうした経緯があるため、than he が正確です。

ですので、今回の playing tennis や to play tennis は、I cook 部分と文構造が変わるため、本来であれば両方正確ではありません。（省略できる場合というのは「文構造自体も重複しているので、その部分を消せる」というもの）
が、それはそれで堅苦しい感じもしますので、実際の英会話であれば、言いやすさなどを優先して、動名詞でも不定詞でも大丈夫、という話です。

以上を踏まえて、学校文法としては I cook better than I playing tennis. を推奨しておきます。