【例題】
x＝(√7)＋(√5), y＝(√7)－(√5) であるとき、次の式の値を求めなさい。

① x＋y
② x－y
③ xy
④ 2るx²＋y²
⑤ x²－y²
 
 
【解説】
根号を含む多項式の値を与えられている場合、「その式を使って表す」ことが目標となります。

設問で与えられた式を見て、「そのまま代入すべき」か、「因数分解を利用するか」の判断が必要になってきます。

ふつう、単純な和や積であれば、そのまま代入すべきもので、
「2乗の計算を含むもの」の場合は、因数分解を利用した方がラクになることが多いです。

また、「先の設問で解いた値を使って解くことができる」ものもあります。
上手くこの形をつくることができれば、代入すると速く解けるようになります。

① x＋y＝{(√7)＋(√5)}＋{(√7)－(√5)}＝2√7　（答え）

② x－y＝{(√7)＋(√5)}－{(√7)－(√5)}＝2√5　（答え）

③ xy＝{(√7)＋(√5)}{(√7)－(√5)}
　　＝(√7)²－(√5)²　（←乗法公式の利用）
　　＝7－5
　　＝2　（答え）

④ x²＋y²
　＝(x＋y)²－2xy　（←先の設問で解いた値を使える形に変形）
　＝(2√7)²－2・2　（←①、③で求めた値を利用する）
　＝28－4
　＝24　（答え）

⑤ x²－y²　（←「平方の差」の形のため、因数分解を利用）
　＝(x＋y)(x－y)
　＝2√7・2√5　（←①、②で求めた値を利用）
　＝4√35　（答え）

＜まとめ＞

・根号を含む多項式の値を与えられている場合、「その式を使って表す」ことが目標
・「そのまま代入すべき」か、「因数分解を利用するか」の判断が必要
・「先の設問で解いた値を使って解くことができる」ものもある