【例題】
四角形ABCDは平行四辺形で、その対角線の交点をOとし、点Oを通る直線が辺AB, CDと交わる点をそれぞれP,Qとする。このとき、「点Oは線分PQの中点となる」ことを証明しなさい。

 
 
【方針】
「点Oは線分PQの中点となる」ということは、PO＝QOになるということ。
辺の長さが等しいことを言いたいならば、三角形の合同を使うといいです。
したがって、PO,QOを含む「△AOPと△COQの合同」を証明すればいい、ということになります。
 
 
【解説】
△AOPと△COQにおいて、
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので、　（←平行四辺形の定理）
OA＝OC…①
対頂角は等しいので、
∠AOP＝∠OCQ…②

AB//CDより、平行線の錯角は等しいので、　（←平行四辺形の定義より、AB//CD）
∠OAP＝∠PCQ…③

①,②,③より、
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
△AOP ≡ △COQ

合同な図形の対応する辺は等しいので、OP＝OQ
よって、Oは線分PQの中点となる。（証明終わり）

＜まとめ＞

・平行四辺形の証明においても、三角形の合同を使うことがある
・平行四辺形では「２組の対辺がそれぞれ平行」となる（定義）
・平行な直線では錯角が等しい