【例題】
図のような長方形ABCD（AB＝3cm, AD＝4cm）があり、その周上を点Pが動きます。点Pは点Aを出発して、反時計回りに秒速1cmの速さで点Dまで進みます。点Pが点Aを出発してからx秒後の△APDの面積を y cm²とするとき、次の各辺の上を進む場合の yをxの式で表しなさい。また、そのときのxの変域も答えなさい。

（１）辺AB上に点Pがある場合
（２）辺BC上に点Pがある場合
（３）辺CD上に点Pがある場合

 
 
【解説】
（１）辺AB上に点Pがある場合

まず、点Pが点Aを出発してから点Bに到着するのは、AB＝3cm で点Pは秒速1cmなので、3秒後。
したがって、xの変域は 0≦x≦3

また、y＝△APD＝AD・AP・(1/2)　と考えることができるので、
y＝4・(1・x)・(1/2)＝2x

よって、辺AB上に点Pがある場合は y＝2x（0≦x≦3）
 
 
（２）辺BC上に点Pがある場合

まず、点Pが点Aを出発してから点Cに到着するのは、AB＝3cm, BC＝4cm で点Pは秒速1cmなので、7秒後。
したがって、点PがBC上にあるときのxの変域は 3≦x≦7

また、y＝△APD＝AD・AB・(1/2)　と考えることができるので、
y＝4・3・(1/2)＝6
（点PがBC上にあるときは、底辺・高さともに一定なので、面積も一定になる）

よって、辺BC上に点Pがある場合は y＝6（3≦x≦7）
 
 
（３）辺CD上に点Pがある場合

まず、点Pが点Aを出発してから点Dに到着するのは、AB＝CD＝3cm, BC＝4cm で点Pは秒速1cmなので、10秒後。
したがって、点PがBC上にあるときのxの変域は 7≦x≦10

また、y＝△APD＝AD・DP・(1/2)　と考えることができます。
〔DPの長さ〕＝〔A→B→C→Dの長さ〕－〔点Pが進んできた長さ〕と考えることができるので、
DP＝10－(1・x)＝10－x

したがって、
y＝4・(10－x)・(1/2)＝20－2x＝－2x＋20

よって、辺BC上に点Pがある場合は y＝－2x＋20（7≦x≦10）

＜補足＞

こちらの説明では、三角形を用いましたが、四角形でも五角形でも、円や立体図形においても「合同となる」場合があります。

＜まとめ＞

・図形の周を点が動く問題は「必ず状況を整理する図を描いて」考える
・状況に応じて、xの変域も考えておく
・状況によっては、yが一定となる場合がある