〔質問〕

I’ll tell you how he is as soon as I get back from the hospital. の get back において、
am getting back や will get back ではない理由を教えてください。

〔回答〕

まず will の方ですが、as soon as については when や while 等と同様の「時・条件を表す副詞節(を導く接続詞)」扱いになりますので、未来のことでも現在形が用いられます。

am getting back の方ですが、as soon as は「～するとすぐに」ということで、何かしら状況に変化が起こる必要があります（今回だと、帰っていない状態から帰った状態に）。
進行形の場合、（直接的にはその瞬間だけのことだけですが）ふつうはしばらくその状態が続いていることが予想されますので、この点で as soon as とは相性が悪いことになります。

なお、もし「帰りながら」ということを言うのであれば、while を用いる等、他の表現を使うことになります。