〔質問〕

日本語の英訳を書く問題で、「その～」は、that ～ か、the ～ かどっちで答えるべきですか？

〔回答〕

まず、
先に不定冠詞が登場していて、それを受けての「その」であれば、the を使っておいてください。
（I bought a book. This is the book. のようなケース）

それ以外で、いきなり「その」が登場した場合ですが、
総じて言えば、that の方が強く指し示すのに対し、the の方はそれよりも弱く指し示す（わざわざ言わなくてもどれのことかわかるよね？くらいの感じ）、という感じです。

つまり、１つの目安として、「日本語側で『その』を抜いてみても支障がない状況」であれば、the で十分です。

※ 絶対と言っていいかは怪しいですが、（上記の不定冠詞ありのケースを除いて）英作の問題でわざわざ「その」と書かれているのなら、基本的には that を使うような状況だと思います。
 
 
なお、that はもちろん this と対比的なものですので、シンプルに「遠さ」を感じる「その」なら that で大丈夫です。