教材については、当時、英語が得意であったなら「中学英語を総復習する」のような類のもので構いませんが、関係代名詞や現在完了形まできちんと載っているかは確認しておいてください。
苦手であったなら、中１・２・３年の各学年用のものを選んで順番に進めてください。

いずれの場合でも、必ず「文法を確認する」→「問題集を解く」ということを行ってください。
文法確認は問題集の概要ページをきちんと読む、ということでも構いませんが、活字を端々まで読むのは現実的にめんどくさくもなってきますので、何かしらの授業動画は確認した方がいいと思います。ターンナップに掲載の授業動画も参考にしてみてください。
 
 
中学範囲の問題が一通り解けるようになれば高校範囲の文法に移ってください。
進め方自体は中学範囲と同様で、「文法を確認する」→「問題集を解く」の過程で行ってください。

また、単語の暗記については、高校範囲の「５文型」（特に自動詞と他動詞の違い）を一通り理解できたら着手してください。
長文についてもこの頃から着手すればいいと思います。ターンナップではとらますく先生の解説講座を掲載していますので、併せて参考にしてみてください。
 
 
日本大学の経済学部の編入試験のレベルについてですが、募集要項を確認すると「TOEFL iBT®Score 45以上，TOEIC®L&R公開テスト（IPテスト除く）Score 450以上又は実用英語技能検定２級以上の者は，英語試験を免除します。」とあります。
英検２級については高校卒業程度とされていますので、それくらいあれば十分という判断でいいと思われます（免除されるのがそれくらいのレベルのため、実際にはそこまでは要らない）

学習期間については、スタート時点での英語力と１日当たりの学習時間にもよりますが、そこそこかかるとは思っておいた方がいいと思います。
いきなり本番を迎えるのではなく、例えば英検を受けてみる等して進捗状況を測っておくことはした方がいいと思います。