付帯状況の with とは 「〜な状態で」 と訳す with のことです。
前置詞は本来、前置詞 + 名詞 と使いますが、この付帯状況の with は with + O + C という形で用います。with + O + C の O + C のところには 文が隠れています。
さらに C のところには doing / done / 形容詞 がよく用いられます。

< with + O + doing >
with + O + doing は O + doing の部分に「Oが〜する」という関係の文が隠れています。

She listened to me with tears falling from her eyes.
「彼女は涙を流しながら私の話を聞いた」

with tears falling の部分は「涙が流れる」という関係の文が隠れています。
「涙が流れた状態で」→「涙を流しながら」という訳になっています。

< with + O + done >
with + O + done は O + done の部分に「Oを〜する」という関係の文が隠れています。

He lay there with his eyes closed.
「彼は目を閉じて、そこで横になっていた」

with his eyes closed の部分は「目を閉じて」という関係の文が隠れています。
「目を閉じた状態で」→「目を閉じて」という訳になっています。

< with + O + 形容詞 >
with + O + 形容詞 は O + 形容詞 の部分に「Oが形容詞だ」という関係の文が隠れています。

You mustn’t speak with your mouth full.
「口をいっぱいにして話してはいけません」

with your mouth full の部分は「口がいっぱいだ」という関係の文が隠れています。
「口がいっぱいな状態で」→「口をいっぱいにして」という訳になっています。

＜その他の例文＞
She stood with her hair waving in the wind.
「彼女は髪をなびかせて立っていた」

Please this sentence with your book closed.
「本を閉じてこの文を復唱してください」

＜補足＞
with + O + C の C の部分には 副詞 や 前置詞+名詞 が用いられる場合もあります。

< with + O + 副詞 >
She fell asleep with her sweater on.
「彼女はセーターを着たまま寝た」

< with + O + 前置詞+名詞 >
He was standing with his hands in the pockets.
「彼はポケットに手を入れたまま立っていた」

＜まとめ＞
・付帯状況の with は with+O+C の形で用いる
・付帯状況の with は「〜な状態で」と訳すのが基本