〔詳細〕
まず置換積分とは、与えられた積分を違う変数の積分に置き換えて解くというものです。
例えば、積分区間が 0≦x≦1 のものを t＝2x で置換する場合、本来は、
・x＝0 のとき ：t＝0 のとき
・x＝0.1 のとき：t＝0.2 のとき
・x＝0.2 のとき：t＝0.4 のとき
…
・x＝1 のとき ：t＝2 のとき
のような置き換えをすべてで行い、改めて t の方の関数で考えていく、ということをしています。

もし、x＝cosθ で置換で、θ の定義域を 0≦θ＜2π のようにしていたら、例えば x＝1/2 は θ としては π/3 と (5/3)π の２つが対応することになり、どっちの値を使うべきなのかがややこしくなってしまいます。
※ ∫cosθdθ となっているのであればどっちを代入しても結果的には同じになりますが、もし ∫sinθdθ だと値が変わることになります。

なお、あくまでも１：１に対応しておけばいいため、0≦θ≦π でなく、例えば π≦θ≦2π などで設定することは可能です。きちんと計算をするのであればごちらで解いても答えは一致します。
※ 例えば途中過程で |sinθ| が登場するような問題だと、π≦θ≦2π なら sin は負の値になるため、－sinθ として進めなければならない