助動詞の can は、
① 能力「〜できる」
② 許可「〜してもよい」
③ 推量「〜し得る」
という主に3つの使い方があります。
例文を使いながら1つずつ使い方をみていきましょう。

① 能力を表す can
He can play the piano.
「彼はピアノが弾ける」

能力を表す can は 「〜することができる」 を意味します。
否定文 can’t［ cannot ］になると 「〜することができない」 を意味し、疑問文 Can S ~ ? になると 「〜することができますか」 を意味します。

「〜することができる」を意味する can は be able to で表すこともできる。

② 許可を表す can
You can use my mobile phone.
「私の携帯電話を使ってもいいですよ」

許可を表す can は 「〜してもよい」 を意味します。
否定文 can’t［ cannot ］になると 「〜してはいけない」 を意味し、疑問文 Can［ Could ］ I ~ ? になると 「〜してもいいですか」 を意味します。

疑問文の場合、Can I ~ ? よりも Could I ~ ? の方が丁寧な言い方になります。
また、許可を表す助動詞には may もありますが、may は 目上の人が与える許可 なので、can の方が口語的になります。

③ 推量を表す can
An accident can happen at any time.
「事故はいつでも起こり得る」

推量を表す can［ could ］ は 「〜し得る」「〜はあり得る」 を意味します。
否定文 can’t［ cannot ］になると 「〜のはずがない」 を意味し、疑問文 Can［ Could ］ S ~ ? になると 「〜はあり得るだろうか」 を意味します。

否定文「〜のはずがない」の反対は must「〜に違いない」 です。
The rumor can’t be true.「そのうわさは本当であるはずがない」
⇄ The rumor must be true.「そのうわさは本当に違いない」

＜その他の例文＞
I can read English, but I can’t speak it.
「私は英語を読むことができるが、話すことはできない」

Anybody can make mistakes.
「誰でも間違えることはある」

＜補足＞
「〜することができた」を表す場合、 could は ［過去のある期間持っていた能力］ を意味するのに対して、was［ were ］able to は ［過去に一度だけできたこと］ を意味します。

I could play the piano when I was five years old.
「私は5歳のときにピアノを弾くことができた」

I was able to catch the last train yesterday.
「私は昨日終電に乗ることができた」

ちなみに was able to は 普通の過去形で表すこともできる。
I was able to catch the last train yesterday.
= I caught the last train yesterday.

＜まとめ＞
・can の1つ目の意味は 能力
・can の2つ目の意味は 許可
・can の3つ目の意味は 推量