助動詞の may は、
① 許可「〜してもよい」
② 推量「〜かもしれない」
という主に2つの使い方があります。
例文を使いながら1つずつ使い方をみていきましょう。

① 許可を表す may
You may come in.
「中に入ってもよい」

許可を表す may は 「〜してもよい」 を意味します。
否定文 may not になると 「〜してはいけない」 を意味し、疑問文 May I ~ ? になると 「〜してもよろしいですか」 を意味します。

② 推量を表す may
She may be at home.
「彼女は家にいるかもしれない」

推量を表す may は 「〜かもしれない」 を意味します。
否定文 may not になると 「〜しないかもしれない」 を意味します。

推量の may は might で表すこともありますが、その場合は may よりも 確信度が低い推量「（ひょっとすると）〜かもしれない」 を意味します。

She might be at home.
「（ひょっとすると）彼女は家にいるかもしれない」

＜その他の例文＞
You may borrow three books from that library at a time.
「あの図書館は一度に3冊借りてもよい」

She may be sick.
「彼女は病気かもしれない」

＜補足＞
may は 祈願「〜でありますように」 を表すこともできます。
祈願 を表す場合は、May S + V ~ ! の形で使います。

May you be very happy!
「ご多幸を祈ります」

＜まとめ＞
・may の1つ目の意味は 許可
・may の2つ目の意味は 推量
・推量の意味では might も使える
・may は 祈願 を表すこともできる