使役動詞 let を使って 「 O に 〜させてあげる・〜するのを許可する 」 と表す場合は、let + O + 原形不定詞 を使います（原形不定詞とは 動詞の原形 のことです）

He let me use his computer. 「彼は私に彼のコンピュータを使わせてくれた」

ポイントは let の後ろに続く O + do の部分には 「 O が 〜する 」 という関係が隠れていることです。
He let me use his computer. の me use his computer に「私が彼のコンピュータを使う（I use his computer）」というものが隠れていて、特に me と use には（意味的に）S V の関係があります。
 
 
また、使役動詞 let を使う場合、have + O + to do という形にはならない点には注意してください。
( ○ ) He let me use his computer.
( × ) He let me to use his computer.

＜その他の例文＞
My parents let me travel abroad.
「両親は私が海外旅行に行くことを許可してくれた」

The president doesn’t let anyone smoke in his office.
「その社長はだれにもオフィスではタバコを吸わせません」

＜補足＞
使役動詞 let + O + do は allow + O + to do に書き換えることができます。
ただし、allow の場合は allow + O + to do になることにも注意しましょう。
（単語ごとに使い方が異なる）

He let me use his computer.
≒ He allowed me to use his computer.

また、let + O + do の受動態は無く、allow の方の受動態である be allowed to do の方で代用します。
He allowed me to use his computer.（これの me を主語にしたい場合）
→ I was allowed to use his computer.

＜まとめ＞
・使役動詞 let は「〜させてあげる・〜するのを許可する」を意味する
・let の後ろには「O が〜する」という意味が続き、「O + 原形」で表現
・ let + O + do は allow + O + to do に書き換えることができる