when S’ V’ 〜「〜するとき」や if S’ V’ 〜「〜するなら」など 時・条件を表す副詞節は、未来のことを表す内容でも動詞の形を 現在形 もしくは 現在完了形 にします。

時・条件を表す副詞節
when S’＋V’ 〜「〜するとき」
before S’＋V’ 〜「〜する前に」
after S’＋V’ 〜「〜する後に」
until S’＋V’ 〜「〜するまでずっと」
by the time S’＋V’ 〜「〜するまでに」
as soon as S’＋V’ 〜「〜するとすぐに」
if S’＋V’ 〜「〜するなら」
unless S’＋V’ 〜「〜しないなら」

今回の例文に関して確認していきましょう。
まず、I will see you next time.「今度あなたに会います」だけの文であれば、next time「今度」とあるので未来のことを表していて、動詞は will see になります。
それに対して、これの先頭に接続詞 when を置いて、when I will see you next time とすると時を表す副詞節になります。このとき、未来のことを表す内容でも動詞の形を「現在形もしくは現在完了形」にしなければならないので、when I see you next time となります。
( ○ ) when I see you next time
( × ) when I will see you next time

ちなみに、現在形または現在完了形にするのは when ～ の方だけです。メインの部分（主節。今回でいう I will see you next time）の方は、原則通り will を用いてください。
 
 
また、今回のことはあくまでも「副詞節」であるときのことです。
間接疑問文での when ～ や、「～かどうか」の意味での if ～ の場合は、文中の主語や目的語などの部分に組み込まれた名詞節ですので、未来の内容であれば will を用います。

I don’t know when she will come home.
「いつ彼女が帰宅するか知りません」
（when she will come home が know の目的語になっている）

＜その他の例文＞
If it rains tomorrow, I will stay here.
「明日雨なら、ここにいるでしょう」

It will be dark by the time he gets there.
「彼がそこに着くまでに日が暮れるでしょう」

＜補足＞
時・条件の副詞節内が「〜し終えた」という意味が出るなら動詞の形を 現在完了形 にする。

Please return the book to me as soon as you have finished reading it.
「読み終えたらすぐに、その本を返してください」

＜まとめ＞
・when S’ V’ 〜（〜するとき）や if S’ V’ 〜（〜するなら）等があるときのこと
・この部分は、内容が未来のことであっても、動詞は「現在形もしくは現在完了形」となる
・when ～、if ～ 等が名詞節になるときは、このルールは適用されない