whoever + V ～ は名詞節のカタマリ をつくり、「～する人なら誰でも」 という意味になります。
名詞節をつくる（名詞と同じ役割をする）ということで、文中で「主語・目的語・補語・前置詞の後ろ」の位置で使われます。

I’ll take whoever wants to go with me. は、whoever wants to go with me が take の 目的語 になっているというもので、「私と行きたい人なら誰でも（を I’ll take する）」と訳すことができます。

また、whoever の後ろの部分（wants to go with me）は不完全文になっています。今回の場合は主語が抜けています。
もしくは、whoever wants to go with me の中で「whoever が wants to go with me の主語になっている」という解釈もできます。
（※ 完全文・不完全文についてはこちら）
 
 
なお、whoever + V ～ は anyone who + V ～ に置き換えることができます。
I’ll take whoever wants to go with me.
＝I’ll take anyone who wants to go with me.

＜その他の例文＞
Whoever leaves last has to turn off the lights.
「最後に出る人は誰でも明かりを消さなければなりません」
（Whoever leaves last がカタマリとして主語に）

She told the story to whoever wanted to hear.
「彼女はその話を聞きたい人ならだれにでも話をした」
（whoever wanted to hear がカタマリとして前置詞の目的語に）

＜補足＞
whoever + V ～ が 主語 で使われると 三人称単数扱い になります。
Whoever leaves last has to turn off the lights. は Whoever leaves last が 主語 になっているので、has to turn というように 動詞に三単現のs がついています。

＜まとめ＞
・名詞節のカタマリをつくる
・whoever の後ろは主語がない不完全文が続く
・whoever は anyone who に置き換えられる

・whoever + V ～ が 主語 になると 三人称単数扱い になる