関係副詞のカタマリは、前の名詞（先行詞）を後ろから修飾し、why の場合はどういう『理由』なのかを補足説明するものです。
Tell me the reason why you did it. は、why you did it が the reason（先行詞）を後ろから修飾して「あなたがそれをした理由」と訳します。関係副詞 why 自体は訳す際、日本語に現れません。

関係副詞 why の特徴は次の通りです。

① 先行詞は reason
why you did it の先行詞は the reason です。

② why の後ろには『名詞が欠けていない完全文』が続く
the reason why you did it の why の後ろには you did it という 名詞が欠けていない完全文 が続いています。
これは、you did it の部分に抜けがなく、先行詞 the reason をそのまま当てはめる所がないことでも判断できます（不完全文なら抜けている所に当てはめられる）
（※ 完全文・不完全文についてはこちら）

③ why は for which に置き換えることができる
the reason why you did it の why は for which に置き換えることができます。
the reason why you did it
= the reason for which you did it

＜その他の例文＞
Tell me the reason why you are late.
「あなたが遅れた理由を言いなさい」

Do you know the reason why she refused to go?
「彼女が行くことを拒んだ理由を知っていますか」

＜補足＞
関係副詞 why は省略される場合ことがあります。
the reason why you did it
= the reason you did it

関係副詞は前にある名詞（先行詞）を文を使って修飾する（詳しく説明する）働きをします。
the reason「理由」に対して You did it for the reason.「あなたはその理由でそれをした」という文を使って修飾する場合、先行詞 the reason を表している for the reason が 関係副詞 why に変わり、why you did it となります。
つまり、副詞句 for the reason と同じ働きをしているのが 関係副詞 why なので、関係副詞 why は 関係副詞節の中で 副詞 の働きをすると言えるわけです。

＜まとめ＞
・先行詞 reason を修飾する
・why の後ろは完全文が続く
・where は for which に置き換えることができる

・関係副詞 why は 先行詞が the reason の場合に省略されることがある。