【質問】数学:絶対値やルートを含む方程式

〔質問〕
方程式 |x+3|=2√(x+1)2+1 の解き方を教えてください。
x+3>0 のときと x+3<0 のときと場合分けを押して考えたんですが答えがまったくあいません。

√(x+1)2 って (x+1) のことですか?

〔回答〕
そうですね、√(x+1)2 のところがまずいです。
√(x+1)2=x+1 としてしまうと、例えば x=-3 のとき、√(x+1)2 は √4 となり、結果 2 となりますが、x+1(=-2)とはつじつまが合わなくなってしまいます。

一般に、符号の関係で、2乗したものはルートをつけるだけでは元に戻りません。
例えば x=3 のときはたしかに x2=9 となりますが、逆に x2=9 からだと x=±3 となります。つまり x=3 と x2=9 は完全には対応していない、ということです。
これを解決する方法は、絶対値をつけてしまうことです。|x|=3 であれば、x2=9 と完全に対応します。

これを踏まえて、√(x+1)2 については、|x+1| としておく必要がある、ということです!

 

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