Our teacher says that English is important.　の場合、

・Our teacher says （先生が言う）　（←主節）
・English is important　（英語が重要である）　（←that節）

という二つの部分からできています。

これらを合わせて、先生が言う ＋ 英語が重要であること(that)　より、
「私たちの先生は英語が重要だと言っています」と考えます。

このような thatの使い方ができる動詞には、以下のものがあります。

・believe：信じる
・hear：聞く
・hope：望む
・know：知っている
・say：言う

合わせて覚えておきましょう！
 
 
（２）thatの省略
接続詞 that は省略されることがあります。
特に「はなしことば（口語）」の場合に、よく省略されます。

Our teacher says that English is important.　
＝Our teacher says English is important.　（私たちの先生は英語が重要だと言っています。）
 
 
（３）時制の一致
中心となる文の動詞が過去形であると、that以下の動詞[助動詞]も過去形を使います。
このことを「時制の一致」といいます。

〔現在〕
I know that he works hard.　（私は、彼は熱心に働いていると知っている。）

〔過去〕
I knew that he worked hard.　（私は、彼は熱心に働くと知っていました。）

＜その他の例文＞

I am sure he will come here tomorrow.
「（私は）きっと彼が明日ここに来ると思っています。」

We know (that) the earth is round.
「私たちは地球が丸いことを知っています。」

＜補足＞

「時制の一致」が起こるのは、think や know などの主節の動詞が過去のときだけです。
現在や未来のときには、時制の一致は起こらないので、注意しましょう。

＜まとめ＞

・接続詞 that は「あれ」とは訳さず、うしろに文をともなって「～ということ」という意味になる
・「I think that ～.」で「私は～だと思う」、「I know that ～.」で「私は～だと知っている」
・中心となる文の動詞が過去形であると、that以下の動詞[助動詞]も過去形を使う（時制の一致）