第１段階としては、漸化式というのは大きく言えば、
① 等差型（a_n＋1＝a_n＋d）
② 等比型（a_n＋1＝r・a_n）
③ 階差型（a_n＋1＝a_n＋[nを使った式]）
の３タイプしかないということを押さえてください。
（詳しくはこちら）

その上で、第２段階として「変形」の件ですが、基本的にはこの「② 等比型への変形を行っている」というものです。
たしかに細かいパターンは何個もあり、また、一旦他のものを経由する場合もありますが（例えば、指数型 → 隣接２項型（基本）→ 等比型）、
総じて言えば「② になるために」というものですので、その観点で改めて各パターンの変形を確認してみてください

なお、パターンについては、こちらにあるものを一通り確認してもらったら大丈夫です