whatever + S V ～ は名詞節のカタマリ をつくり、「〜するものは何でも」 という意味になります。
名詞節をつくる（名詞と同じ役割をする）ということで、文中で「主語・目的語・補語・前置詞の後ろ」の位置で使われます。

You can do whatever you want to do. は whatever you want to do が can do の 目的語 になっているというもので、「あなたのしたいことは何でも（を you can do）」と訳すことができます。

また、whatever の後ろの部分（you want to do）は不完全文になっています。今回の場合は最後の do の目的語が抜けています。
もしくは、whatever you want to do の中で「whatever が do の目的語になっている」という解釈もできます。
（※ 完全文・不完全文についてはこちら）
 
 
なお、whatever + S V ～ は anything that + S V ～ に置き換えることができます。
You can do whatever you want to do.
= You can do anything that you want to do.

＜その他の例文＞
Whatever he said was true.
「彼が言ったことは何でも本当だった」
（Whatever he said がカタマリとして主語に）

I’ll give you whatever I have.
「私が持っているものは何でも君にあげるよ」
（whatever I have がカタマリとして(第４文型の２つ目の)目的語に）

＜補足＞
whatever + (S) V ～ が 主語 で使われると 三人称単数扱い になります。
Whatever he said was true. は Whatever he said が 主語 になっているので、was となっています。

＜まとめ＞
・名詞節のカタマリをつくる
・whatever の後ろは名詞がない不完全文が続く
・whatever は anything that に置き換えられる
・whatever + (S) V ～ が 主語 になると 三人称単数扱い になる