| 〔質問〕 互いに外接している三つの円の中心をそれぞれＡ，Ｂ，Ｃとし、（半径は、中心がＡの円＜中心がＢの円＜中心がＣの円）中心がＡの円と中心がＢの円の接点をＤ、中心がＢの円と中心がＣの円の接点をＥ、中心がＣの円と中心がＡの円の接点をＦとします。 △ＡＢＣの内角の大きさが30°、60°、90°であるとき、△ＤＥＦの外接円は△ＡＢＣの内接円であるようなのですが、なぜそう言えるのかわかりません。 |
| 〔回答〕 私が問題の意味を間違っていなければ、このことはこの三角形でなくても成り立つと思います。（３つの円が接してさえいれば成り立つ） ちょっと逆からの説明になりますが、まず、三角形の内接円の中心（内心）というものを考えると、これは３つの角の二等分線の集まる箇所として求めることができます。点D, E, F は内心 I からそれぞれの辺に下した垂線の足とします。 このとき、以下の図のように、同じ色で塗っている２つの三角形はそれぞれ合同となります。 （△ADI≡△AFI, △BDI≡△BEI, △CEI≡△CFI）  ということは、AD＝AF、BD＝BE、CE＝CF となりますので、これをそれぞれ半径と見立てれば、円が書けることになります。 ※ ここでは半径は「中心がＡの円＜中心がＢの円＜中心がＣの円」とはなっていませんが、適宜置き換えてください （逆に、「３つの三角形が互いに接している」から考えたとしても、必ずこのような形で三点 D, E, F が存在しています）  このとき、下図の円は、△ABCという意味では内接円になっていますが、各辺との接点である D, E, F はこの円上にありますので、△DEFから見れば外接円ということになっています。  |
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